카이제곱 독립성 검정, 기대빈도와 자유도 계산하기

두 범주형 변수의 관련성을 빈도로 확인합니다

학습 방식과 강좌 완주 여부에 관련이 있는지 알고 싶다면 두 범주형 변수를 교차표로 정리해 카이제곱 독립성 검정을 검토합니다. 이 검정은 평균을 비교하지 않습니다. 두 변수가 독립이라고 가정했을 때 예상되는 각 칸의 빈도와 실제 관측빈도가 얼마나 다른지 비교합니다.

가상의 이용자 100명에게 주로 쓰는 학습 방식을 동영상 또는 문서 중 하나로 기록했다고 합시다. 각 이용자는 표의 한 칸에 한 번만 들어가며 이용자들의 관측은 서로 독립이라고 가정합니다. 실제 사이트 이용 통계가 아니라 계산을 위한 자료입니다.

귀무가설은 모집단에서 학습 방식과 완주 여부가 독립이라는 것입니다. 대립가설은 두 변수가 독립이 아니라는 것입니다. 동영상 이용자 중 60%가 완주했고 문서 이용자 중 40%가 완주했다는 표본의 차이가 보이지만 그 차이를 통계적으로 유의하다고 판단할 수 있는지는 검정 조건과 함께 봅니다.

기대빈도는 독립이라는 가정 아래의 기준입니다

독립이라면 전체의 완주 비율이 각 학습 방식에서도 같을 것으로 기대합니다. 표 전체에서 완주 비율은 50/100 = 0.5입니다. 동영상 이용자 50명에게 이 비율을 적용하면 기대 완주 수는 25명입니다. 이 계산을 일반식으로 쓰면 기대빈도 = 행 합계 × 열 합계 / 전체 합계입니다.

동영상과 완주의 칸은 50×50/100 = 25입니다. 다른 세 칸도 기대빈도가 모두 25입니다. 관측값 30이 들어간 칸이라고 그 칸의 기대빈도도 30이 되는 것은 아닙니다. 기대빈도는 귀무가설 아래에서 만든 비교 기준입니다. 사람 수를 세는 표여도 기대빈도는 소수가 될 수 있으므로 중간에 정수로 반올림하지 않습니다.

보정하지 않은 Pearson 카이제곱 통계량은 마지막 열의 합인 4입니다. 차이 5와 −5를 그대로 더하면 0이 되므로 차이를 제곱합니다. 기대빈도로 나눠 각 칸의 규모도 반영합니다. 관측빈도로 나누는 공식과 혼동하지 마세요.

합계 행과 합계 열은 자유도에 넣지 않습니다

행 범주 수가 r, 열 범주 수가 c인 표의 독립성 검정 자유도는 (r−1)(c−1)입니다. 예제는 2×2 표이므로 자유도는 1입니다. 표에 합계가 붙어 3행 3열처럼 보이더라도 학습 방식은 두 범주, 완주 여부도 두 범주입니다. 합계는 새로운 범주가 아닙니다.

행과 열의 합계를 고정한 2×2 표에서는 한 칸이 정해지면 나머지 칸도 정해집니다. 동영상 완주가 30이면 동영상 합계 50에서 미완주는 20입니다. 완주 열 합계 50을 맞추려면 문서 완주는 20, 마지막 칸은 30이 됩니다. 이 제약을 생각하면 자유도 1이라는 숫자를 기억하기 쉽습니다.

자유도 1의 카이제곱 분포에서 4 이상일 오른쪽 꼬리 확률은 약 0.0455입니다. 근사가 적절하다는 조건에서 사전에 정한 유의수준 0.05와 비교하면 독립이라는 귀무가설을 기각합니다. 이 결과는 두 범주형 변수의 관련성을 말해 줍니다. 동영상이 완주를 일으켰다거나 효과가 크다고 바로 말할 수는 없습니다.

같은 비율이라도 표본 수가 달라지면 검정값이 달라집니다

앞의 표에서 모든 관측빈도를 두 배로 바꾸면 동영상은 60명과 40명, 문서는 40명과 60명이 됩니다. 두 방식의 완주 비율은 여전히 60%와 40%입니다. 기대빈도는 각 칸 50이 되고 카이제곱 값은 네 칸에서 각각 100/50 = 2를 더한 8이 됩니다.

비율 차이가 커진 것은 아니지만 같은 차이를 관찰한 정보량이 늘어났습니다. 이처럼 카이제곱 통계량과 p값만으로 관련성의 크기를 비교하면 표본 수의 영향을 놓칩니다. 완주 비율 차이처럼 효과의 크기를 보여 주는 값도 함께 제시하세요. 표본 수를 늘려도 특정 이용자만 뽑는 조사 편향이나 중복 관측이 자동으로 해결되지는 않습니다.

기대빈도를 계산하는 행이나 열의 합계가 0인 빈 범주가 있다면 분모가 0인 항이 생길 수 있습니다. 범주 정의와 데이터 집계 과정을 먼저 확인합니다. 한 이용자의 반복 방문을 각각 독립인 사람처럼 세거나 복수응답을 단일응답 표처럼 넣는 것도 별도 설계 없이 같은 검정을 적용할 수 없는 경우입니다.

작은 기대빈도와 소프트웨어 설정을 함께 봅니다

카이제곱 분포를 이용한 p값은 근사입니다. 표본이 적거나 어떤 칸의 기대빈도가 작으면 이 근사가 충분한지 살펴야 합니다. 이때 보는 숫자는 관측빈도가 아니라 기대빈도입니다. 입문 계산에서는 모든 칸의 기대빈도가 5 이상인지 확인하는 보수적인 점검부터 할 수 있지만 5라는 수를 모든 표에 적용되는 절대 경계처럼 쓰지는 않습니다.

작은 2×2 표에서는 Fisher의 정확검정 등 목적에 맞는 방법을 검토할 수 있습니다. 원하는 결과가 나오도록 임의로 범주를 합치거나 관측값을 더해 조건을 맞추는 것은 해결책이 아닙니다. 범주를 합칠 근거는 내용과 조사 설계에 있어야 합니다.

R의 chisq.test는 기본적으로 2×2 표에 연속성 보정을 적용합니다. 본문의 보정 없는 손계산을 재현하려면 correct = FALSE임을 명시해야 합니다. 이 표에 기본 보정을 적용하면 각 차이의 절댓값 5에서 0.5를 뺀 뒤 계산하므로 통계량은 4×4.5²/25 = 3.24가 됩니다. 보정하지 않은 4와 결과가 다른 이유는 자료가 아니라 계산 설정입니다.

한 변수의 범주 비율이 미리 정한 비율과 맞는지 묻는 적합도 검정은 질문이 다릅니다. 카이제곱이라는 이름만 보고 독립성 검정의 기대빈도와 자유도 공식을 모든 문제에 적용하지 마세요.