표본추출과 추정, 층화와 군집, 표준편차와 표준오차 구분하기

응답 천 개보다 먼저 볼 것은 누가 빠졌는지입니다

학습 서비스 전체 이용자의 의견을 알아보려고 저녁 수업 공지방에서만 설문을 받았다고 합시다. 응답이 많아져도 낮 수업 이용자의 의견은 여전히 빠질 수 있습니다. 응답 수는 분석에 필요한 정보이지만, 그 숫자만으로 표본이 모집단을 대표한다고 판단할 수는 없습니다.

모집단은 알고 싶은 전체 대상, 표본은 실제로 뽑아 관찰한 일부입니다. 표본추출틀은 뽑는 데 사용하는 명단이나 단위의 목록입니다. 전체 이용자를 알고 싶어도 명단에 저녁 수업 이용자만 들어 있다면 추출틀부터 어긋납니다. 명단에는 있지만 조사에 응답하지 않는 경우와 명단 자체에서 빠진 경우도 구분해야 합니다.

확률표본추출은 무작위 절차를 사용하며 각 단위가 선택될 확률을 알 수 있도록 설계합니다. 모든 단위의 확률이 반드시 같아야 하는 것은 아닙니다. 표본설계에 따라 선택확률이 달라질 수 있고, 그 차이는 추정할 때 가중치에 반영합니다. ‘아무나 골랐다’는 일상적인 말과 통계적인 무작위 추출은 같은 뜻이 아닙니다.

이용자 수와 조사 결과는 추출 방법을 비교하려고 만든 가상 예제입니다.

단순무작위추출과 계통추출은 가능한 표본이 다릅니다

중복 없이 이용자 1,000명 중 100명을 단순무작위추출한다고 합시다. 가능한 모든 100명 조합이 같은 확률로 뽑히도록 무작위로 선택합니다. 개인마다 선택확률이 같다는 조건만으로는 단순무작위추출을 완전히 설명할 수 없습니다. 표본의 조합도 어떤 방식으로 허용되는지 봐야 합니다.

계통추출은 임의로 정한 출발점에서 일정한 간격으로 뽑습니다. 1,000명 명단에서 100명을 뽑는다면 간격은 10입니다. 1부터 10 사이에서 출발점을 무작위로 하나 정하고, 출발점이 7이면 7, 17, 27, …, 997번째 사람을 뽑습니다. 명단을 순서대로 지나면서 간격을 유지하므로 실행이 간단합니다.

이 예에서는 가능한 출발점이 열 개이므로 가능한 표본도 열 가지입니다. 각 사람의 선택확률은 100/1,000 = 0.1로 같지만, 임의의 100명 조합이 모두 나올 수는 없습니다. 개인의 확률이 같다는 이유만으로 계통추출을 단순무작위추출이라고 부르면 안 되는 이유입니다.

명단의 순서에 주기가 있다면 간격과 맞물리는지 확인합니다. 가령 열 명씩 묶인 명단에서 매번 같은 위치에 담당자가 놓이면 특정 출발점에서 담당자만 뽑힐 수 있습니다. 무작위 출발점을 사용했다는 사실만으로 이런 표본의 불안정성이 사라지지 않습니다. 명단이 만들어진 순서를 확인하는 일도 추출 설계의 일부입니다.

층화는 각 층에서, 군집은 뽑은 덩어리에서 조사합니다

같은 1,000명 중 낮 수업 이용자가 600명, 저녁 수업 이용자가 400명이라고 합시다. 층화추출은 모집단을 서로 겹치지 않는 층으로 나누고 각 층에서 표본을 뽑습니다. 모집단 비율대로 100명을 배분한다면 낮 수업에서 60명, 저녁 수업에서 40명을 무작위로 뽑을 수 있습니다. 두 층 모두 조사에 포함됩니다.

층화는 중요한 집단을 빠뜨리지 않고 조사하거나 비슷한 성질끼리 층으로 묶어 추정의 정밀도를 높이는 방법입니다. 층을 나누는 변수는 조사 전에 추출틀에서 알 수 있어야 합니다. 이름만 붙여 나눈 집단이 조사하려는 특성과 무관하다면 효율 향상이 크지 않을 수도 있습니다. 층화추출이라는 이름이 결과의 품질을 자동으로 보증하지는 않습니다.

군집추출에서는 먼저 집단을 뽑습니다. 이용자 1,000명이 각 50명인 학급 스무 개로 구성되어 있다고 합시다. 이 중 두 학급을 무작위로 선택하고 선택된 학급의 이용자 100명을 모두 조사하면 일단계 군집추출입니다. 뽑히지 않은 학급에서는 아무도 조사하지 않습니다. 각 학급에서 일부씩 뽑는 방식과 다릅니다.

명단에 반이나 지역 이름이 있다는 이유만으로 군집추출은 아닙니다. 모든 집단에서 뽑았는지, 집단 일부를 골랐는지가 판단 기준입니다. 통째로 조사한다는 말은 일단계 군집추출에 한정됩니다. 선택한 학급 안에서 다시 학생 일부를 뽑으면 단계가 하나 더 있는 다단계 추출입니다. 층화와 군집을 결합하는 설계도 가능하므로 실제 조사를 무조건 둘 중 하나로만 분류하려 하지 않습니다. 입문 문제에서는 먼저 제시된 추출 단계와 조사 대상을 그대로 읽습니다.

군집추출은 이동이나 명단 확보 비용을 줄일 수 있지만, 같은 군집 안의 응답이 서로 비슷하면 같은 수의 단순무작위표본보다 정보가 덜 다양할 수 있습니다. 조사한 사람이 100명이라고 해서 독립적으로 뽑은 100명과 항상 같은 정밀도를 갖는 것은 아닙니다. 선택한 군집 수와 군집 내부의 유사성도 살펴야 합니다.

층별 평균을 합칠 때는 모집단 비중을 되돌립니다

낮과 저녁 수업의 평균 학습 시간을 추정해 보겠습니다. 두 층의 표본평균이 각각 40분과 70분이었다면, 모집단의 비중을 반영한 전체 평균 추정값은 0.6 × 40 + 0.4 × 70 = 52분입니다. 두 집단의 평균을 단순히 더해 나눈 55분과 다릅니다. 모집단에서 낮 수업 이용자가 더 많기 때문입니다.

두 층을 더 자세히 비교하려고 각각 50명씩 조사하는 설계도 가능합니다. 이때 표본 안에서는 두 층이 절반씩이지만 모집단에서는 여전히 600명과 400명입니다. 전체 이용자의 평균을 추정하려면 모집단 비중으로 결합해야 합니다. 표본의 비중을 그대로 전체의 비중처럼 쓰면 상대적으로 작은 층이 과하게 반영됩니다.

층별 표본을 많이 뽑는 것 자체가 잘못은 아닙니다. 비교할 집단의 정보를 충분히 확보하면서 전체 추정에서는 설계에 맞는 가중치를 쓰면 됩니다. 실제 조사에서는 무응답이나 추출확률 차이까지 고려해야 할 수 있습니다. 여기의 52분은 제시한 층별 평균과 비중으로 계산한 추정값이며 실제 모집단 평균이 정확히 52분이라는 보장은 아닙니다.

표준편차는 관측값, 표준오차는 추정값의 흔들림입니다

표준편차는 관측값들이 평균 주변에서 얼마나 퍼져 있는지 나타냅니다. 표준오차는 같은 설계로 표본을 반복해서 뽑을 때 표본평균 같은 통계량이 얼마나 달라지는지 나타내는 표준편차입니다. 실제로 같은 조사를 수백 번 해야만 계산할 수 있다는 뜻은 아닙니다. 정해진 가정과 표본설계 아래의 계산식으로 이 반복의 변동을 평가합니다.

앞의 유한 모집단 조사와 별개인 계산 예를 보겠습니다. 서로 독립이고 같은 분포를 따르는 관측값의 모집단 표준편차가 12분이라고 합시다. 표본평균의 표준오차는 σ/√n이므로 표본 크기가 36일 때 12/6 = 2분입니다. 크기를 144로 늘리면 12/12 = 1분이 됩니다. 표본을 네 배로 늘려야 이 조건에서 표준오차가 절반으로 줄어듭니다.

표본이 커졌다고 개별 이용자의 학습 시간 차이가 절반이 되는 것은 아닙니다. 모집단 표준편차는 예제의 가정에서 여전히 12분이고, 평균 추정의 흔들림이 작아진 것입니다. ‘표준편차는 값의 퍼짐, 표준오차는 추정의 퍼짐’으로 구분하면 됩니다. 개별 값의 퍼짐 계산은 분산과 표준편차에서 확인할 수 있습니다.

모집단 표준편차를 모르면 표본표준편차로 표준오차를 추정하는 경우가 많습니다. 다만 σ/√n이나 s/√n을 모든 조사에 그대로 적용해서는 안 됩니다. 유한 모집단에서 상당한 비율을 비복원추출하면 유한모집단수정을 고려하고, 층화나 군집 설계에서는 그 구조에 맞게 분산을 계산합니다. 표본 수만 보고 같은 공식을 쓰면 설계의 차이를 놓칩니다.

큰 표본이 고쳐 주는 문제와 남겨 두는 문제를 나눕니다

적절한 설계에서 표본을 늘리면 우연한 추출 변동을 줄일 수 있습니다. 반면 특정 집단이 계속 빠지는 포괄 범위 오류나 질문이 한쪽 답을 유도하는 측정 오류는 응답 수를 늘린다고 해결되지 않습니다. 통계량의 평균적인 방향이 목표에서 벗어나는 편향과, 표본을 바꿀 때 생기는 변동을 구분해야 합니다.

예를 들어 저녁 수업 공지방만으로 전체 이용자를 추정하는 문제가 있다면 같은 공지방에서 응답을 더 모으는 것보다 대상 명단을 수정하는 일이 먼저입니다. 무응답이 특정 성향과 관련되어 있다면 처음에 무작위로 뽑았어도 실제 응답 자료에 차이가 생길 수 있습니다. 추출 방법의 이름뿐 아니라 응답 과정까지 살펴보는 이유입니다.

분석 결과를 읽을 때는 누구를 대상으로 했는지, 어떤 명단에서 뽑았는지, 어떤 단위를 뽑았는지, 응답하지 않은 대상은 누구인지 확인합니다. 그다음 표본 수와 표준오차를 봅니다.