이항분포와 포아송분포, 정규분포를 구분하는 조건

시도 횟수와 관찰 구간부터 구분합니다

네 번 제출한 과제에서 오류 횟수를 세면 시도 횟수가 고정됩니다. 한 시간 동안 들어온 오류 신고를 세면 관찰 구간이 고정됩니다. 전자는 이항분포, 후자는 포아송분포를 검토할 상황이지만 각각의 가정까지 맞아야 합니다.

확률변수는 관찰 결과를 숫자로 나타낸 것입니다. 횟수는 영부터 시작하는 정수이고 처리 시간은 연속량으로 모델링할 수 있습니다. 확률분포는 가능한 값과 그 확률을 나타냅니다. 아래 숫자는 실제 오류율이 아닌 가상 학습 자료입니다.

이항분포는 정해진 시도에서 성공 횟수를 셉니다

이항분포의 기본 조건은 고정된 시행 횟수, 각 시행의 두 결과, 같은 성공확률, 시행 간 독립성입니다. 여기서 성공은 좋은 결과라는 뜻이 아니라 세기로 정한 결과입니다. 오류를 세면 오류 발생이 성공에 해당합니다. 한 번의 시행 결과를 성공 여부로 나타내는 베르누이 확률변수와, 여러 번 시행했을 때 성공 횟수를 나타내는 이항 확률변수를 구분합니다.

네 번의 제출이 서로 독립이고 매번 오류 확률이 0.3이라고 가정하겠습니다. 오류 횟수 X는 이항분포를 따르며 가능한 값은 0, 1, 2, 3, 4입니다. 정확히 두 번 오류가 날 확률은 다음과 같습니다.

P(X = 2) = 조합(4, 2) × 0.3² × 0.7² = 6 × 0.09 × 0.49 = 0.2646

조합(4, 2)가 필요한 이유는 두 번의 오류가 나타날 자리를 고르는 방법이 여섯 가지이기 때문입니다. 앞의 두 번에서만 오류가 나는 특정 순서의 확률은 0.3² × 0.7²입니다. 정확히 두 번이라는 질문에는 오류가 난 순서가 다른 경우도 포함됩니다. 이 차이를 놓치면 확률을 실제보다 작게 계산합니다.

평균은 np = 4 × 0.3 = 1.2, 분산은 np(1 − p) = 0.84입니다. 실제 한 묶음에서 오류가 1.2번 발생한다는 뜻은 아닙니다. 같은 조건의 네 번 제출 묶음을 반복했을 때 오류 횟수의 평균이 향하는 값을 말합니다. 횟수의 가능한 값은 여전히 정수입니다.

적어도 한 번 오류가 날 확률은 각 경우를 따로 더하기보다 여사건을 쓰면 간단합니다. 오류가 한 번도 나지 않을 확률은 0.7⁴ = 0.2401이므로, 적어도 한 번의 확률은 1 − 0.2401 = 0.7599입니다. 적어도 한 번과 정확히 한 번을 같은 식으로 계산하지 않도록 질문의 범위를 먼저 표시합니다.

결과가 성공과 실패로 나뉜다는 사실만으로 이항분포가 되지는 않습니다. 앞선 오류 때문에 다음 제출의 환경이 바뀌거나, 제출마다 오류 확률이 다르면 기본 가정이 달라집니다. 유한한 상자에서 물건을 꺼내 되돌려 놓지 않는 경우도 남은 구성 비율이 바뀔 수 있으므로 독립 시행으로 바로 취급하지 않습니다.

포아송분포는 정해진 구간의 발생 건수를 셉니다

포아송분포는 일정한 시간이나 공간 구간에서 발생한 사건 수를 표현할 때 사용합니다. 평균 발생 건수를 나타내는 λ는 해당 구간 전체의 기대 건수입니다. 시간당 발생률인지 하루의 기대 건수인지 단위를 붙여 읽어야 합니다. 사건 발생이 서로 독립적이고 발생률이 일정하다는 포아송 과정 가정 아래에서 구간의 건수가 포아송분포를 따릅니다.

한 시간 동안 들어오는 신고 건수가 평균 2인 포아송분포를 따른다고 가정하면 λ = 2입니다. 정확히 k건일 확률은 e의 −λ제곱 × λ의 k제곱을 k의 계승으로 나눈 값입니다. 한 건도 없을 확률은 e⁻²로 약 0.1353이고, 적어도 한 건 있을 확률은 1 − e⁻²로 약 0.8647입니다.

평균과 분산이 모두 λ이므로 이 예에서는 평균도 2, 분산도 2입니다. 이것은 표준편차가 2라는 말과 다릅니다. 표준편차는 분산의 제곱근입니다. 다른 분포에서도 평균과 분산이 같다고 일반화하지 말고 포아송분포의 성질로 묶어 기억합니다.

발생률이 시간 내내 같다는 조건을 유지하면서 관찰 구간을 삼십 분으로 줄이면 기대 건수는 1이 됩니다. 그때 한 건도 없을 확률은 e⁻¹로 약 0.3679입니다. 구간이 절반으로 줄었다고 확률 자체를 절반으로 나누지 않습니다. λ를 새 구간에 맞춰 바꾼 뒤 확률을 다시 계산합니다.

실제 신고가 특정 시간에 몰리거나 한 오류가 여러 신고를 연달아 만들면 독립성과 일정한 발생률이 맞지 않을 수 있습니다. 세어 놓은 자료라는 이유만으로 포아송분포를 선택할 수 없는 이유입니다. 자료의 분산이 평균보다 훨씬 크다면 조건이 다른 집단을 섞었는지, 발생이 몰리는 구조가 있는지 등을 점검할 단서가 됩니다. 이 현상 하나만으로 원인이나 대체 모형이 확정되지는 않습니다.

정규분포는 곡선 아래의 면적을 읽습니다

정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭인 연속분포입니다. 평균 μ가 중심의 위치를, 표준편차 σ가 퍼진 정도를 결정합니다. 처리 시간이 평균 50초, 표준편차 10초인 정규분포로 모델링된다고 가정하면 60초의 표준점수는 (60 − 50)/10 = 1입니다. 평균보다 표준편차 하나만큼 큰 위치입니다.

이 예에서 40초부터 60초 사이일 확률은 표준정규분포의 −1부터 1까지 면적과 같으며 약 0.6827입니다. 가로축에서 구간을 정하고 그 구간 아래의 면적을 읽습니다. 곡선의 높이는 확률밀도이며 특정 값의 확률과 같지 않습니다. 연속분포 모형에서 정확히 50초일 확률은 0입니다.

기록 화면에 50초가 여러 번 나온다는 사실과 이 설명은 충돌하지 않습니다. 화면이 시간을 반올림한다면 표시된 50초에는 실제로 일정한 폭의 구간이 들어 있습니다. 원래 연속량을 모델링한 확률과 반올림된 기록값의 빈도를 구분해야 합니다. 측정 정밀도를 무시하면 자료가 이산인지 연속인지 설명할 때 혼동이 생깁니다.

표준화는 값을 평균에서 얼마나 떨어져 있는지로 바꾸는 계산입니다. 비대칭인 자료를 표준화했다고 정규분포가 되지는 않습니다. 표준정규분포의 면적을 사용하려면 원래 변수가 정규분포라는 가정이나 적절한 근거가 필요합니다. 정규분포는 음수 영역에도 값을 허용합니다. 음수가 불가능한 시간을 설명할 때는 이 근사가 적절한지도 살펴야 합니다.

분포마다 무엇을 관찰하는지로 구분합니다

세 분포를 고를 때 필요한 정보는 다음과 같습니다. 대기 시간을 측정했다고 곧바로 정규분포가 되는 것은 아닙니다. 고정된 시간 안에서 시도 횟수도 따로 정해 놓았다면 무엇을 확률변수로 삼았는지 더 읽어야 합니다. ‘시간’이라는 단어 하나만 찾아 포아송분포를 고르는 식으로 쓰지 않습니다.

계산 전에 범위와 단위를 확인합니다

문제를 풀 때는 분포 이름, 모수, 사건을 따로 적습니다. ‘두 건 이하’는 영 건부터 두 건까지 포함하고, ‘두 건 초과’는 세 건부터 포함합니다. 확률변수가 정수인지 연속량인지에 따라 경계값의 포함 여부가 달라질 수 있습니다. 연속분포에서는 한 점의 확률이 영이므로 같은 구간의 열린 끝과 닫힌 끝이 확률을 바꾸지 않습니다.

계산한 결과가 영과 일 사이에 있는지 확인하고, 평균이나 분산을 요구한 문제에 확률을 답하지 않았는지도 봅니다. 평균과 표준편차에는 원래 측정 단위가 붙지만 분산은 그 단위의 제곱입니다. 포아송의 평균 건수와 이항의 성공확률을 바꿔 넣는 오류도 단위를 적으면 발견하기 쉽습니다.

표준점수 계산이 낯설다면 표준화가 바꾸는 것과 바꾸지 않는 것부터 확인하세요.